Materi

PEMBAHASAN

Ø  Pengertian Himpunan

            Himpunan adalah sekelompok atau sekumpulan benda atau objek-objek tertentu yang tercakup didalam suatu kesatuan dan dapat didefinisikan secara jelas. Objek-objek pembentuk himpunan disebut anggota himpunan.

contoh

a.  Kumpulan mahasiswa UNMUH Jember.

b.  Kumpulan sungai di Indonesia.

c.  Kumpulan huruf dalam kata “matematika”.

Ø  Menyatakan Himpunan

                   1.Menuliskan tiap-tiap anggota himpunan di antara 2 kurung kurawal 
                   2.Menuliskan sifat-sifat yang ada pada semua anggota himpunan di antara 2 kurung kurawal.

         Contoh :

Nyatakan dengan notasi himpunan dengan menuliskan tiap-tiap anggotanya dan sifat-sifatnya himpunan berikut ini :

1.            A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6

2.     B adalah himpunan mata kuliah yang anggotanya adalah : kalkulus, logika matematika, matematika diskrit, statistika, fisika

3.            C adalah himpunan bilangan riil yang lebih besar dari 5

4.            D adalah himpunan yang terdiri dari bilangan 2, 4, 6, 8, 10

5.            E adalah himpunan bilangan riil lebih kecil dari 5 dan lebih besar dari 10 Jawab :

1.            A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6

         ·       Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

                  A = {2, 3, 4, 5}

         ·       Dengan menulis sifat-sifatnya           

                  A = {x | 1 < x < 6, x Î Asli}

2.     B adalah himpunan mata kuliah yang anggotanya adalah : kalkulus, logika matematika, matematika diskrit, statistika, fisika

         ·       Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

B = {kalkulus, logika matematika, matematika diskrit, statistika, fisika.

         ·       Dengan menulis sifat-sifatnya

B tidak bisa dituliskan sifat-sifatnya, karena tidak ada sifat yang sama di antara anggota-anggotanya

3.            C adalah himpunan bilangan riil yang lebih besar dari 5

                           ·       Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

C tidak bisa dituliskan anggota-anggotanya, karena jumlah anggota C tak terhingga.

         ·       Dengan menulis sifat-sifatnya

                  C = {x | x > 5, x Î Riil}         

4.            D adalah himpunan yang terdiri dari bilangan 2, 4, 6, 8, 10

         ·       Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

                  D = {2, 4, 6, 8, 10}

         ·       Dengan menulis sifat-sifatnya

         D = {x | x adalah 5 buah bilangan asli pertama yang genap}

5.            E adalah himpunan bilangan riil lebih kecil dari 5 dan lebih besar dari 10

               ·  Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

E = tidak bisa dituliskan anggota-anggotanya, karena jumlah anggota E tak terhingga.

         ·       Dengan menulis sifat-sifatnya

                                    E = {x | x < 5 dan x > 10, x Î Riil}

           

Ø  Sifat-sifat Operasi Himpunan

1.      Komutatif

            a. Irisan

            A Ç B = B Ç A

            b. Gabungan

            AÈ B = B È A

2.       Asosiatif

            a. Irisan tiga himpunan

            (A Ç B) Ç C = A Ç ( B Ç C)

            b. Gabungan tiga himpunan

            (A È B) È C = A È ( B È C)

3.      Distributif

            a. Gabungan

            A Ç (BÈ C) = (AÇ B)È (AÇ C)

            b. Irisan

            A È( BÇ C ) = (A ÈB)Ç (AÈ C)

Ø  Operasi pada Himpunan

         a.      Gabungan

Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi : A È B = {x | x Î A Ú x Î B}

         Contoh :

         S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

                  Diagram Venn :                

                 A È B = {0, 1, 3, 5, 7, 9}

         b.      Irisan

Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan anggota himpunan B.

         Notasi : A Ç B = {x | x Î A Ù x Î B}

         Contoh :

         S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

                  Diagram Venn :

                         

                                                           A Ç B = {3, 7}

         c.      Komplemen

         Komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta S adalah

         himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan anggota A.

         Notasi : A^c = {x | x Î S Ù x Ï A}

        atau  = {x | x Î S Ù x Ï A}

         Contoh :

         S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7}

                  Diagram Venn :

          

                  A^C = {0, 2, 4, 6, 8, 9}

d.      Selisih

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A dan bukan anggota himpunan B. Selisih himpunan A dan B adalah komplemen himpunan B terhadap himpunan A.

         Notasi : A – B = {x | x Î A Ù x Ï B}

         atau A – B = A Ç

         Contoh :

         S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

                  Diagram Venn :

 

                  A – B = {1, 2}

e.      Beda Setangkup

Beda Setangkup (symetric difference) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi : A Å B = (A È B) – (A Ç B)

            atau : A Å B = (A – B) È (B – A)

Contoh :

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

                  Diagram Venn :

        

 

A Å B  = {1, 2, 0, 9}

Ø  Macam-macam Himpunan

a.       Himpunan kosong

                        Himpunan kosong adalah sebuah himpunan bila tidak ada anggotanya (tidak                      mempunyai anggota).lambang yang digunakan untuk menyatakan himpunan kosong yaitu Æ atau { }

                        Contoh :

1.      A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari 1, maka A= { } atau A= Æ

2.      B = Siswa-siswa yang usianya lebih dari 30 tahun, maka B = { } atau B= Æ

                        Untuk himpunan yang hanya memiliki sebuah anggota yaitu nol maka himpunan itu disebut himpunan nol

                        Contoh : P = { bilangan cacah yang besarnya kurang dari 1}, maka P = {0}

b.      Himpunan semesta

                        Himpunan semesta adalah sebuah himpunan yang mampu menampung anggota dari himpunan lain yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta sering juga disebut semesta pembicaraan dan lambang yang digunakan yaitu huruf “S”

                        Contoh : Diketahui A = {1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11}

                        Himpunan yang dapat dijadikan himpunan semesta dari A dan B antara lain

1.      S ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

2.      S= {bilangan asli}

3.      S= {bilangan cacah}

c.       Himpunan bilangan

                        Contoh :

1.      Himpunan bilangan asli ;         A={1,2,3,......}

2.      Himpunan bilangan cacah;      C={0,1,2,3,...}

3.      Himpunan bilangan ganjil;      J={1,3,5,7,....}

4.      Himpunan bilangan genap;     G={0,2,4,6,,,,}

5.      Himpunan bilangan prima;      P{2,3,5,7,...}

6.      Himpunan bilangan kuadrat;   K{0,1,4,9,..}

d.      Himpunan terhingga

                        Merupakan himpunan yang banyak anggotanya,dapat dinyatakan dengan sautu bilangan cacah.

                        Contoh : himpunan bilangan asli kurang dari 100

e.       Himpunan tak terhingga

                        Merupakan bilangan yang abanyak anggotanya tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah

                        Contoh : himpunan bilangn asli